论文题目：基于现代控制理论的倒立摆系统设计与仿真
摘要
本文以经典的倒立摆系统为研究对象,旨在应用现代控制理论中的状态空间法设计一个稳定的控制器，建立倒立摆系统的数学模型，并将其转化为状态空间形式，基于状态空间模型，设计一个线性二次型调节器，通过求解代数黎卡提方程获得最优反馈增益矩阵，利用MATLAB/Simulink软件对所设计的LQR控制器进行仿真验证，仿真结果表明，LQR控制器能够有效地使倒立摆系统在受到初始扰动后迅速稳定在竖直向上的平衡位置，并具备良好的动态性能和鲁棒性，本文通过一个具体实例，完整地展示了现代控制理论从建模、控制器设计到仿真验证的全过程，加深了对状态空间、能控能观性、最优控制等核心概念的理解。
现代控制理论；倒立摆；状态空间；LQR控制器；MATLAB仿真
Abstract
This paper focuses on the design of a stabilizing controller for the classic inverted pendulum system using modern control theory. Firstly, the mathematical model of the inverted pendulum is established and transformed into a state-space representation. Secondly, based on the state-space model, a Linear Quadratic Regulator (LQR) is designed. The optimal feedback gain matrix is obtained by solving the Algebraic Riccati Equation (ARE). Finally, the designed LQR controller is simulated and verified using MATLAB/Simulink. The simulation results demonstrate that the LQR controller can effectively stabilize the inverted pendulum system at its upright equilibrium position after an initial disturbance, exhibiting excellent dynamic performance and robustness. Through this specific case study, this paper comprehensively illustrates the entire workflow of modern control theory, from system modeling and controller design to simulation validation, thereby deepening the understanding of core concepts such as state-space, controllability, observability, and optimal control.
Keywords: Modern Control Theory; Inverted Pendulum; State-Space; LQR Controller; MATLAB Simulation
1 研究背景与意义
倒立摆系统是一个典型的非线性、多变量、强耦合、自然不稳定的高阶控制系统，它虽然结构简单，但 dynamics（动力学特性）复杂，能有效地反映控制理论中的关键问题，如系统的稳定性、鲁棒性、随动性等，倒立摆系统常被视为控制理论教学和算法验证的“标准实验平台”和“试金石”。
2 现代控制理论与经典控制理论的对比
经典控制理论（如根轨迹法、频率响应法）主要处理单输入单输出系统，其核心是传递函数，无法揭示系统内部状态的变化，而现代控制理论以状态空间法为核心，能够处理多输入多输出系统，且考虑了系统内部的所有状态变量，更适用于复杂系统和最优控制问题的研究，本文采用现代控制理论方法，正是为了体现其在处理复杂系统时的优势。
3 本文主要工作
本文的主要工作包括：
- 建立直线一级倒立摆系统的非线性数学模型,并在平衡点附近进行线性化，得到其线性状态空间模型。
- 分析系统的能控性与能观性,为控制器设计提供前提。
- 设计LQR最优控制器,确定加权矩阵Q和R，并求解反馈增益矩阵K。
- 利用MATLAB/Simulink搭建仿真模型，验证所设计控制器的有效性，并分析其性能。
倒立摆系统建模
1 系统描述与假设
研究对象为直线一级倒立摆,由一辆小车和一个安装在车上的摆杆组成，控制目标是通过施加在小车上的水平力F，使摆杆稳定在竖直向上的位置，并使小车保持在轨道中央，建模时做如下假设：
- 摆杆为均匀刚体,质量均匀分布。
- 小车和摆杆的运动仅限于垂直于导轨的平面内。
- 忽略所有摩擦力（如小车与轨道的摩擦、摆杆转轴处的摩擦）。
- 输入力F是理想控制力。
2 模型参数定义
定义系统物理参数如下：
- $M$: 小车质量
- $m$: 摆杆质量
- $b$: 小车摩擦系数
- $l$: 摆杆转动中心到质心的长度
- $I$: 摆杆惯量
- $g$: 重力加速度
3 建立状态空间模型
选取系统的状态变量为： $x = \begin{bmatrix} x & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^T$ $x$为小车位置，$\dot{x}$为小车速度，$\theta$为摆杆角度（与竖直向上方向的夹角），$\dot{\theta}$为摆杆角速度。
通过拉格朗日方程或牛顿力学定律,可以推导出系统的非线性运动方程，在平衡点（$x=0, \theta=0$）附近进行线性化处理，并忽略摩擦力（$b=0$），可以得到线性化的状态空间方程： $\dot{x} = Ax + Bu$ $y = Cx + Du$
各矩阵表达式为： $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{m \cdot g}{M+m} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & \frac{(M+m) \cdot g}{l \cdot (M+m)} & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{M+m} \ 0 \ -\frac{1}{l \cdot (M+m)} \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$
（注：这里的A矩阵在推导时需注意，标准形式通常包含耦合项，此处为简化展示，具体数值代入后会更清晰，实际论文中应给出完整的推导过程。）
控制器设计
1 系统能控性与能观性分析
在控制器设计之前,必须验证系统是否能被控制和能被观测。
- 能控性：若能控性矩阵 $C_o = [B \ AB \ A^2B \ A^3B]$ 满秩（即 $\text{rank}(C_o) = 4$），则系统状态完全能控。
- 能观性：若能观性矩阵 $O_b = [C \ CA \ CA^2 \ CA^3]^T$ 满秩（即 $\text{rank}(O_b) = 4$），则系统状态完全能观。
通过计算（可用MATLAB的rank函数），可以验证该倒立摆系统是既能控又能观的，因此可以通过状态反馈任意配置极点，或设计如LQR这样的最优控制器。
2 线性二次型调节器设计
LQR是一种基于状态空间的最优控制设计方法,其核心思想是：在保证系统稳定的前提下，找到一个最优控制律 $u = -Kx$，使得二次型性能指标 $J$ 最小。
$J = \int_{0}^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) dt$
- $Q$ 是半正定的状态加权矩阵，用于惩罚状态的偏差。$Q$的对角线元素越大，表示对应的状态变量被抑制得越快。
- $R$ 是正定的控制加权矩阵，用于惩罚控制能量。$R$的值越大，表示控制量越小，系统更“节能”。
LQR的设计问题转化为求解代数黎卡提方程,得到最优反馈增益矩阵 $K$： $A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$ $K = R^{-1} B^T P$
加权矩阵的选择： $Q$ 和 $R$ 的选择没有固定的公式，需要通过试凑法来获得理想的动态响应，本文选择对角矩阵： $Q = \text{diag}(q_1, q_2, q_3, q_4) = \text{diag}(100, 1, 1000, 1)$ $R = [1]$
这里,我们给摆杆角度 $\theta$ 和角速度 $\dot{\theta}$ 较大的权重，因为它们是控制的首要目标；给小车位置 $x$ 较大的权重，以限制其超调；给小车速度 $\dot{x}$ 较小的权重，通过MATLAB的lqr函数可以方便地求解出 $K$。
MATLAB/Simulink仿真与结果分析
1 仿真模型搭建
在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，主要包括以下模块：
- State-Space模块：将2.3节中得到的A, B, C, D矩阵填入。
- L Controller模块：使用
-K矩阵（由lqr函数计算得到）构建状态反馈。 - Sum模块：将反馈信号与参考输入（通常为0）进行比较。
- Scope模块：用于观察小车位置和摆杆角度的响应曲线。
2 仿真结果
设置初始状态为 $x_0 = [0.2, 0, 0.1, 0]^T$，即小车初始偏离原点0.2米，摆杆有0.1弧度（约5.7度）的初始倾角，运行仿真，得到小车位置和摆杆角度的响应曲线。
结果分析：
- 摆杆角度响应：从图中可以看出，摆杆角度在受到初始扰动后，经过几次振荡，在约2秒内迅速收敛到0附近，超调量小，调节时间短，表明系统稳定性好。
- 小车位置响应：小车位置也表现出类似的动态特性，最终稳定在0附近，没有出现大的位置偏移，说明控制器成功地将摆杆“扶正”的同时，也控制了小车的运动。
- 控制信号：控制力 $u$ 在初始时刻有较大值，以提供足够的力矩来纠正摆杆的倾斜，随后迅速减小并趋于平稳，符合物理直觉。
3 性能讨论
仿真结果证明了所设计的LQR控制器是有效的,通过调整Q和R矩阵的值，可以改变系统的动态性能，增大Q中与角度相关的元素，可以使摆杆更快稳定，但可能会引起小车位置更大的波动；增大R值，可以使控制过程更平缓，但响应速度会变慢，这体现了LQR控制器在性能指标和能耗之间的权衡。
本文成功地将现代控制理论应用于倒立摆系统的控制问题,通过建立精确的数学模型，并将其转化为状态空间形式，为后续设计奠定了基础，设计的LQR控制器通过优化二次型性能指标，实现了对倒立摆系统的稳定控制，MATLAB/Simulink的仿真结果验证了该控制器的有效性和良好的动态性能。
本次课程设计不仅加深了我对状态空间分析、能控能观性、LQR最优控制等现代控制理论核心概念的理解，也锻炼了我运用MATLAB等工具解决实际工程控制问题的能力，倒立摆系统作为控制领域的经典问题，其解决方案为更复杂系统的控制提供了有益的借鉴。
参考文献
[1] K. Ogata. Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall, 2010. [2] Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. Modern Control Systems (13th ed.). Pearson, 2025. [3] 胡寿松. 《自动控制原理》（第七版）. 科学出版社, 2025. [4] The MathWorks, Inc. "Control System Toolbox™ User's Guide." R2025a. [5] 张化光, 王宏, 等. 《线性多变量系统》. 科学出版社, 2008.
致谢
感谢本课程授课老师在现代控制理论教学中的悉心指导,感谢同学们在课程讨论中提供的宝贵意见，也感谢MATLAB软件为本次仿真验证提供的强大支持。
附录
附录A：MATLAB核心代码
% --- 倒立摆系统LQR控制仿真 ---
% 1. 定义系统参数
M = 0.5; % 小车质量 (kg)
m = 0.2; % 摆杆质量 (kg)
b = 0.1; % 小车摩擦系数
l = 0.3; % 摆杆长度 (m)
g = 9.8; % 重力加速度 (m/s^2)
I = (m*l^2)/3; % 摆杆惯量
% 2. 构建状态空间矩阵
A = [0 1 0 0;
(I+m*l^2)*g/(I*(M+m)-m^2*l^2) 0 0 -b*(I+m*l^2)/(I*(M+m)-m^2*l^2);
0 0 0 1;
-m*g*l*(M+m)/(I*(M+m)-m^2*l^2) 0 0 -b*m*l/(I*(M+m)-m^2*l^2)];
B = [0; (I+m*l^2)/(I*(M+m)-m^2*l^2); 0; -m*l/(I*(M+m)-m^2*l^2)];
C = [1 0 0 0; 0 0 1 0]; % 输出小车位置和摆杆角度
D = [0; 0];
sys = ss(A, B, C, D);
% 3. 检查能控性与能观性
Co = ctrb(A, B);
Ob = obsv(A, C);
if rank(Co) == 4
disp('系统是状态完全能控的。');
else
disp('系统不是状态完全能控的。');
end
if rank(Ob) == 4
disp('系统是状态完全能观的。');
else
disp('系统不是状态完全能观的。');
end
% 4. 设计LQR控制器
Q = diag([100, 1, 1000, 1]); % 状态加权矩阵
R = 1; % 控制加权矩阵
[K, P, e] = lqr(A, B, Q, R); % 求解LQR增益
disp('最优反馈增益矩阵 K:');
disp(K);
% 5. 闭环系统仿真
A_cl = A - B*K; % 闭环系统矩阵
sys_cl = ss(A_cl, B, C, D);
% 设置初始状态
x0 = [0.2; 0; 0.1; 0]; % 小车初始位置0.2m, 摆杆初始角度0.1rad
% 时间向量
t = 0:0.01:5;
% 进行仿真
[y, t, x] = lsim(sys_cl, zeros(size(t)), t, x0);
% 6. 绘制结果
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x(:,1)); % 小车位置'小车位置响应');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('位置 (m)');
grid on;
subplot(2,1,2);
plot(t, x(:,3)); % 摆杆角度'摆杆角度响应');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('角度 (rad)');
grid on;
使用说明：
- ：将上述框架中的文字内容替换为你自己的研究内容，你可以选择不同的被控对象（如无人机、机器人臂），或者使用不同的控制算法（如极点配置、滑模控制、H∞控制等）。
- 深化细节：在每个章节中，加入更详细的推导过程、理论阐述和代码注释。
- 图表：确保你的论文中包含清晰的图表，如系统结构图、Simulink模型图、仿真结果曲线图等。
- 格式调整：根据你学校的论文格式要求，调整字体、字号、行间距、参考文献格式等。
- 查重：完成论文后，务必使用查重软件进行检查，确保原创性。
希望这份详细的框架和范文能对你有所帮助！祝你课程论文顺利！
